» » Множество натуральных чисел это

Множество натуральных чисел это

Натуральные числа — Циклопедия


Kampus.kz: Математика. Урок 1 - Числа: Натуральные числа

Натуральные числа — это ряд чисел 1, 2, 3, …, представляющих собой число предметов или более строго — мощности (количества элементов) непустых конечных множеств. Эти числа выражают меры конечного количества отдельных объектов, а также выражают порядок равномерного однонаправленного счёта (каждое натуральное число имеет «свое» место — уникальный номер).

Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком mathbb{N}.

Существует бесконечное множество натуральных чисел — для любого натурального числа найдется другое натуральное число, большее его.



Натуральные числа можно использовать для счёта (одно яблоко, два яблока и т. п.).

Определение

Аксиомы Пеано

Множество будем называть множеством натуральных чисел, если зафиксирован некоторый элемент (единица) и функция (функция следования) так, что выполнены следующие условия

  1. ( является натуральным числом);
  2. Если , то (Число, следующее за натуральным, также является натуральным);
  3. (1 не следует ни за каким натуральным числом);
  4. Если и , тогда (если натуральное число непосредственно следует как за числом , так и за числом , то );
  5. Аксиома индукции. Пусть  — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа . Тогда:

Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивное представление о «натуральном ряде».

Принципиальным фактом является то, что эти аксиомы по сути однозначно определяют натуральные числа (категоричность системы аксиом Пеано). А именно, можно доказать (см.[1], а также краткое доказательство[2]), что если и  — две модели для системы аксиом Пеано, то они необходимо изоморфны, то есть существует биекция такая, что и для всех .

Натуральными числами называют числа,
употребляемые при счёте предметов. Наименьшим
натуральным числом является число 1. Наибольшего
числа не существует. Чтобы доказать это,
предположим противное: пусть n – наибольшее
натуральное число. Прибавив единицу к этому
числу, получим натуральное число n+1, которое
больше n. Это противоречит предложению о том, что n
– наибольшее натуральное число. Значит,
наибольшего натурального числа нет. Множество
натуральных чисел является бесконечным. Этот
факт был известен древним грекам. О нем говорится
в книге Евклида “Начала” (III в. до. н. э.).

Бесконечный ряд натуральных чисел записывают
так: 1, 2, 3, …; три точки означают, что ряд
продолжается неограниченно. Множество
натуральных чисел означают буквой N: N={1, 2, 3, …}.

Классы и разряды

Разряд - положение (позиция) цифры в записи числа.

Низший разряд - самый правый. Старший разряд - самый левый.

      Если на помощь привлечь еще одну руку, то количество доступных натуральных чисел удвоится. Теперь мы сможем получить уже десять натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6 – шесть, 7 – семь, 8 – восемь, 9 – девять, 10 – десять. Если для пересчета добавить пальцы ног, руки и ноги соседей, то получится очень большое количество чисел, и все эти числа будут натуральными. Можно поступить несколько иначе: считать пальцы на одной руке в произвольном порядке, не обращая внимания на то, сколько раз посчитан каждый палец. В этом случае количество полученных натуральных чисел будет ограничено только нашим терпением.

      Натуральное число 2 мы использовали по меньшей мере два раза. Первый раз – для обозначения количества пальцев на руке, второй раз – для обозначения количества рук.
Одно и то же натуральное число может применяться для обозначения количества самых разных предметов.

      Почему отрицательные числа не принадлежат к натуральным? Отрицательные числа получают более сложным способом, чем простой пересчет. Точно так же, как и дробные числа. Для получения отрицательных и дробных чисел используют арифметические операции вычитания и деления. Когда, как и к чему применяются арифметические операции, и что же это такое, рассмотрим в отдельной статье.

zn
=
rn(cosnj
+
isinnj).


Пример.
Найти(2+2i)5.


Еслиz = 2 +2i,
то r =,
cosj
= ,
sinj
=,
j
= .
Тогда

,
а.


Для
извлечения корня степени n
ÎN
из комплексного числаz
= =r(cosj+
isinj
)
используется следующая формула:

,
k
= 0, 1, 2, ..., n-1.


Пр
им
e p.
Найти.
Найдем
тригонометрическую форму подкоренного
выражения:

;
;
;
;
.

,
k
= 0, 1, 2, 3.

;

;

;

.

КОНТРОЛЬНЫЕ
ВОПРОСЫ

Натуральные числа в русском языке Править

  • Числа от 1 до 10 — один (1), два (2), три (3), четы́ре (4), пять (5), шесть (6), семь (7), во́семь (8), де́вять (9), де́сять (10).

Доказательство. Пусть . , т.к. . Из условия теоремы имеем, что . Тогда, по 3 аксиоме Пеано, .



Другим примером иррационального числа является число π, знакомое всем из геометрии и тригонометрии.

Определение: Рациональные и иррациональные числа вместе называют действительными (или вещественными) числами. Множество всех действительных чисел обозначают буквой R.


В действительных числах, в отличии от рациональных, мы можем выразить расстояние между любыми двумя точками на прямой или на плоскости.
Если нарисовать прямую и выбрать на ней две произвольные точки или выбрать две произвольные точки на плоскости, то может так получиться, что точное расстояние между этими точками невозможно выразить рациональным числом. (Пример – гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 1 и 1 по теореме Пифагора будет равна корню из двух – то есть иррациональному числу. Сюда же относится точная длина диагонали тетрадной клетки (длина диагонали любого идеального квадрата с целыми сторонами).)
А в множестве действительных чисел любые расстояния на прямой, в плоскости или в пространстве могут быть выражены соответствующим действительным числом.

Наверх